01
丈量土地
《九章算术》中的“方田”讨论田亩面积。一方田、一条渠、一片需要分配的土地， 让“面积”从抽象概念变成生活的秩序。
现代联系 面积、比例与误差控制仍是现代地图、遥感和土地管理的基础，但这属于今天的应用。
公元三世纪 · 山东邹平 · 齐鲁文化
一圆千年
一个圆，没有一条现成的边。
刘徽却从田亩、器物与远山的尺度出发，把圆切成越来越多的直线，
让一个无法一次抵达的答案，拥有可以一步步靠近的路径。
从泰山脚下到黄河入海，数学从未离开生活。 今天，我们沿着这条路径，重新丈量“有限”与“无限”。
从一圆开始- 山河
- 田亩
- 手艺
- 星空
齐鲁有数
02 / 问题
圆没有边，怎样计算？
圆周率不是一个等待抄写的数字。它藏在田亩的边界、器物的弧面和远山的轮廓里， 也藏在一个人如何面对“无法直接抵达”的问题之中。
公元三世纪，刘徽为《九章算术》作注。他不满足于只告诉后来者“怎样算”， 还要追问一句更难的问题：“为什么可以这样算？”
圆没有一条直边，直尺无法直接量出它的周长。刘徽从圆内接正六边形开始， 每次把边数加倍：十二边、二十四边、四十八边……直线越来越多， 它与圆之间的空隙便越来越小。
这是一种朴素而深刻的信念：世界也许不能被一次看尽， 却可以被一次次改进的答案不断接近。割圆术的锋芒，不只在数字， 更在这种愿意与误差共处、再继续向前一步的方法。
- 时代
- 魏晋时期
- 著作
- 《九章算术注》
- 方法
- 割圆术
03 / 齐鲁文化
数学，也藏在齐鲁的山河与手艺里。
刘徽面对的，从来不只是纸上的圆。田地怎样丈量、远山怎样测量、 对称怎样落到风筝骨架上、圆器怎样计算容量，都是“数”与“形”在生活中的回声。
从黄河冲积出的田畴，到泰山脚下的测量，再到风筝、琉璃这样的手艺， 齐鲁文化始终在与“尺度”打交道。数学不是悬在生活之外的符号， 它常常出现在人们决定怎样分地、怎样造物、怎样望向远方的时候。
02
望向远方
“重差术”以两次或多次观测推算远方高度。人不必抵达山巅， 也能借相似的图形，把不可触及的距离化为可计算的答案。
现代联系 角度、比例与误差分析仍用于现代测量和遥感，古人的方法与今天的工具应当分开理解。
03
让骨架保持平衡
风筝的对称、角度与弧线来自手艺经验。对称不只是好看， 它让骨架受力平衡，也让一件轻巧的器物能够借风飞起。
现代联系 对称、重心与迎风角度可以用于分析风筝和飞行器结构，但这不是刘徽时代已有的技术。
04
丈量圆器内部
从圆形器物到球体体积，古人对“圆”的追问也发生在容器与器皿之中。 看得见的是器形，看不见的是一个物体能够容纳多少世界的尺度。
现代联系 圆、曲面与体积计算延续到今天的工业设计和容器制造，现代应用不等同于古代原貌。
丈量土地，理解山河，
也把眼前的圆形与方形，变成可以计算的秩序。
04 / 割圆实验
把圆，切给你看。
每一次增加边数，不只是图形更接近圆，也是让误差再缩小一点。 你会看到：所谓“无限”，并不是一步跨到尽头，而是愿意把同一件事做得更细。
在刘徽的时代，没有计算器，也没有屏幕。帮助他向前推进的， 是一套可以重复执行的算法，以及一枚枚摆动的算筹。
下面的实验把这条推理路径变成可以触摸的图形。你每推进一步， 都在重复同一个朴素的动作：用足够多的直线，去理解一条曲线。
三种边数
同一个圆，三种“切法”
正多边形的边数越多，内接图形与圆之间的空隙就越小。 它的周长，也就越接近圆的周长。
设圆半径为 1，内接正 n 边形的边长为 2 · sin(π/n)，周长为 2n · sin(π/n)。 用周长除以直径 2，就得到现代程序使用的近似公式：
πₙ = n · sin(π/n)
当 n 增大时，πₙ 会逐步靠近圆周率 π。 页面中的实时数值由现代浮点运算生成，是对古代割圆思想的程序化演示，不是古籍原算记录。
内接正多边形 · 视觉示意
当前边数
6
π 近似值
3.0000000000
与 π 的误差
1.42e-1
误差量级
10⁻¹
第 1 / 10 次
从正六边形开始，每次将边数加倍。
- 6 边 3.000000
- 192 边 3.141452
- 3072 边 3.141592
怎样得到这个近似值？
设圆的半径为 1，内接正 n 边形的周长为 2n · sin(π / n)。 用周长除以直径 2，就得到 n · sin(π / n)。
当前数值由现代程序按 πₙ = n · sin(π/n) 计算，用来观察逼近过程， 不代表刘徽原稿中的计算记录。
05 / 发现
答案不是一个点，而是一步步靠近。
3.14 和 3.1416 不是两个正确答案之间的竞争，而是同一条逼近之路上的两个路标。 它们证明了一件更重要的事：误差并不是失败，而是下一次改进的入口。
这是刘徽得到的近似值，后来常被称为“徽率”。 它背后不是一次灵感，而是一整套可以被复核、被继续加细的计算过程。
继续分割，多边形与圆之间的空隙越来越小。 数字向 π 靠近的每一小步，都是人对“无限”做出的一次有限回应。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。”
刘徽《九章算术注》
这句话的动人之处，在于它没有许诺一步抵达。它承认有限， 又相信有限可以通过一次次细分，逐渐拥有接近无限的力量。
06 / 成就
刘徽的数学宇宙，不只有 π。
从面积、体积到测量，他关心的不只是结果，更是图形为什么能够变换、 结论为什么能够成立。下面三件作品，可以拖动旋转，从不同角度看见这些几何思想。
割圆术让曲线被直线理解，出入相补让面积在移动中保持， 牟合方盖把球体问题变成两个圆柱的交叠，重差术则让不可抵达的远方 进入同一套测量语言。它们共同指向一种方法：先把复杂问题变成一个可以观察的结构。
古籍记载中的贡献
把圆周率问题变成可以重复的割圆程序
刘徽从圆内接正六边形出发，逐次倍增边数，用越来越贴近圆的多边形 推算圆周长与面积。他的贡献不仅在于得到近似结果，更在于给出了一套 可以反复执行、逐步缩小误差的方法。
现代程序演示
用公式观察逼近，而不是改写历史
本页中的实时读数由现代程序按 πₙ = n · sin(π/n) 计算，并使用浮点数与屏幕动画展示。它帮助我们理解“边数增加，结果靠近 π” 的规律，但不能把这些现代计算值直接说成刘徽当年的原始计算结果。
出入相补
把一个图形切开、移动、拼合，面积仍然不变。陌生的形状因此可以被改写成 熟悉的长方形、三角形或平行四边形，复杂的面积问题也随之变得可见。
牟合方盖
球体积难以直接切开计算，刘徽便让两个互相垂直的圆柱体交叠， 构造出“牟合方盖”这一模型。它让看不见的内部结构有了可以想象的轮廓。
重差术
不必抵达目标，也能通过两次或多次观测推算远方高度。 重差术把山、塔、岛屿这些不可触摸的尺度，转化为地面上的相似关系。
07 / 星空
从一圆，到一颗星。
公元三世纪的割圆术，留在纸上；今天的数学探索，已经走向月球与深空。 一个人把圆切得越来越细，后来的人把目光放得越来越远。
刘徽没有留下清晰的生平，却留下了一种可以传递的目光： 不急着拥有终极答案，而是让每一次观测、每一次推理都成为下一次出发的起点。
361712
2024 年，国际编号为 361712 的小行星被命名为“刘徽星”。 一个古代数学家的名字，由此进入现代天文学的坐标。
刘徽
361712
从算筹到芯片，计算的速度变了；
用有限逼近无限的心，没有变。
